Todo lo que necesitas saber sobre los Números Racionales (Q)

Todo lo que necesitas saber sobre los Números Racionales (Q)

 

Los números racionales son una parte fundamental de las matemáticas, y entenderlos puede abrir un mundo de posibilidades en términos de comprensión numérica y resolución de problemas. En este artículo, exploraremos qué son los números racionales, cómo se representan y algunas propiedades importantes que los caracterizan.

 

¿Qué son los números racionales?

 

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una fracción, donde el numerador y el denominador son números enteros y el denominador no es cero. Por ejemplo \(\frac{1}{2}\), \(\frac{-3}{4}\), \(\frac{5}{1}\)   son todos números racionales.    También se pueden expresar como decimales finitos o decimales periódicos. Por ejemplo, 0.75 y 0.333... son números racionales.

 

Representación de números racionales

 

Los números racionales pueden representarse de varias formas. Además de la forma de fracción y decimal, también pueden mostrarse en una recta numérica. En la recta numérica, los números racionales se ubican entre los números enteros, y cada número racional tiene un lugar único en la recta en relación con los demás números racionales y enteros.

 

Operaciones con números racionales

 

Las operaciones básicas con números racionales son similares a las operaciones con fracciones. Para sumar o restar números racionales, es necesario tener un denominador común. Para multiplicarlos, simplemente se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí. Para dividirlos, se multiplican en cruz los numeradores y denominadores. Es importante simplificar las fracciones resultantes siempre que sea posible.

 

Suma de números racionales:​

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{cd}$$ 

Ejemplo1:    $$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4}=\frac{5}{4} $$ 

Para sumar estas fracciones, primero necesitamos tener un denominador común. En este caso, el denominador común es 4. Entonces, convertimos las fracciones para que tengan el mismo denominador:

 

Ejemplo 2:      $$\frac{3}{2} + \frac{4}{7} = \frac{3*7}{2*7} + \frac{2*4}{2*7}= \frac{21}{14} + \frac{8}{14}= \frac{29}{14}$$

        Resta de números racionales:

      $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} - \frac{bc}{cd}$$ 

        Ejemplo 1:       $$\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$

 

Para restar estas fracciones, primero necesitamos tener un denominador común. En este caso, el denominador común es 6. Entonces, convertimos las fracciones para que tengan el mismo denominador: 

Ejemplo 2      $$\frac{4}{7} - \frac{1}{2} = \frac{4*2}{7*1} - \frac{2*4}{2*7}= \frac{8}{14} - \frac{7}{14}= \frac{1}{14}$$

Multiplicación de números racionales:

 $$\frac{a}{b} *\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} $$

Ejemplo:        $$\frac{2}{3} * \frac{3}{5} = \frac{2*3}{3*5}=\frac{6}{15} $$

División de números racionales:

 $$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc} $$

Ejemplo:    $$\frac{7}{3} ÷ \frac{1}{2} = \frac{7*2}{3*1}=\frac{14}{3} $$

Para dividir estas fracciones, multiplicamos la primera fracción por el inverso de la segunda fracción

Propiedades de los números racionales

Para el conjunto de los números racionales con las operaciones de suma y producto

 

Conmutativa:    

                    

 Ejemplo: $$\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{c}{d} * \frac{a}{b} $$ $$\frac{2}{3} * \frac{8}{5} = \frac{8}{5} * \frac{2}{3} $$

Asociativa:

Ejemplo $$ (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} =\frac{a}{b} +( \frac{c}{d} + \frac{e}{f})$$ $$ (\frac{2}{3} + \frac{3}{5}) + \frac{7}{6} =\frac{2}{3} +( \frac{3}{5} + \frac{7}{6})$$

Distributiva:

Ejemplo:  $$ \frac{a}{b}∗(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}) =( \frac{a}{b}∗ \frac{c}{d}) +( \frac{a}{b}∗\frac{c}{d})$$ $$ \frac{7}{6}∗(\frac{2}{3} + \frac{3}{5}) =( \frac{7}{6}∗ \frac{2}{3}) +( \frac{7}{6}∗\frac{3}{5})$$

Propiedad de identidad o neutro:

Existe un número racional, conocido como el elemento identidad, que no cambia ningún número cuando se suma o multiplica por él. Este número es 0 para la suma y 1 para la multiplicación.

Propiedad de simetría:

Elemento simétrico respecto de la suma para cualquier número racional    \(\frac{a}{b}\) es \(-\frac{a}{b}\) , llamado elemento opuesto, puesto que   \(\frac{a}{b}\)+\((-\frac{a}{b})\)=0

 

Lo mismo ocurre en el caso del elemento simétrico respecto del producto, para todo número racional    q = \(\frac{a}{b´}\) ,  distinto de 0, existe \(q^{-1}\)= \(\frac{b}{a´}\),   llamado inverso multiplicativo tal que    \(q\) * \(q^{-1}\)= \(\frac{a}{b}∗ \frac{b}{a}\)=1

Aplicaciones de los números racionales

 

Los números racionales tienen aplicaciones en una amplia variedad de campos, incluyendo la física, la ingeniería, las finanzas y la informática. En la física, por ejemplo, los números racionales se utilizan para representar mediciones precisas, como las fracciones de una cantidad total. En la ingeniería, los números racionales son esenciales para calcular medidas exactas y diseñar estructuras eficientes.

En resumen, los números racionales son una parte esencial de las matemáticas que tienen una amplia variedad de aplicaciones en la vida cotidiana y en numerosos campos profesionales. Entender cómo trabajar con números racionales es fundamental para desarrollar habilidades matemáticas sólidas y resolver una variedad de problemas numéricos. 

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